分子设计与三维等变

1 背景

定义：当输入数据发生某种变换时，模型的输出也会以可预测的方式发生相应的变换。数学上，对于变换操作 $T$ 和函数 $f$ ，若满足：

f (T (x)) = T^{'} (f (x))

则称 $f$ 对变换 $T$ 是等变的，其中 $T^{'}$ 是与 $T$ 相关的另一变换。

定义：不变性指当输入数据发生某种变换时，模型的输出保持不变。数学上，对于变换操作 $T$ 和函数 $f$ ，若满足：

f (T (x)) = f (x)

则称 $f$ 对变换 $T$ 是不变的。

等变性：卷积核在图像上滑动时共享权重，局部特征的位置会随输入平移而同步变化，如：输入图像中的一只猫向右平移，卷积层输出的特征图中对应猫的特征也会右移。

不变性：通过池化层（Pooling）和深层堆叠逐渐引入不变性，例如最大池化——抗局部像素干扰；深层的高级特征抽象程度高，对输入的低级变换（如位置、光照）表现出更强的不变性。

定义：三维等变性（3D Equivariance）：若对蛋白质口袋施加某种几何变换（如旋转，平移，反射），生成的分子结构也会以相同方式变换，保持与口袋的相对位置和化学互补性不变。

数学上，对于变换 $T \in$ $S E (3)$ （特殊欧几里得群，包含旋转和平移），模型 $f$ 满足：

f (T (口袋), T (初始分子)) = T (f (口袋, 初始分子))

为什么此时需要等变？

Satorras V G, Hoogeboom E, Welling M. E (n) equivariant graph neural networks[C]//International conference on machine learning. PMLR, 2021: 9323-9332.

公式改变：

证明：

公式改变：

证明：

EDM将分子建模为点云，化学键被忽略，生成点云后，化学键由原子间距离和原子类型预测得到
为了生成分子，坐标 $x$ 和特征 $h$ 是通过从标准正态噪声 $z_{T}$ 开始，逐步去噪到 $z_{t}$ 得到。这是通过从分布 $p (z_{t - 1} ∣ z_{t})$ 中采样实现的。
为了训练模型，在步骤 $t$ 中使用 $q (z_{t} ∣ x, h)$ 将噪声添加到数据 $x$ 和 $h$ ，然后训练网络学习去噪。

本文等变的核心假设：只要神经网络满足等变性，则整个生成过程具有等变性。因此神经网络采用EGNN实现等变。然而事实上，这里输入的噪声是没有等变的，于GEODIFF一文指出

SDE 形式

d X_{t} ​ = μ (X_{t} ​, t) d t + σ (X_{t} ​, t) d W_{t} — — σ 为 噪 声 扰 动 项 ​

局限性：

分子加噪不同于图像，图像逐步加噪基本不影响整体图像的识别，而分子结构某些关键基团，加噪后就很难学习如何去噪。例如，苯环邻位的取代基方向，若加噪扰动，可能导致氢键断裂，从而失去结合力
分子数据中既有连续的数据（每一个原子的坐标），又有离散的数据（每一个分子的种类）。存在连续与离散数据的协同对齐问题。
DDPM 的训练和采样效率较低，算力要求高、耗时长